三角関数のcosでの合成公式をベクトルの内積を使って簡単に導く

数2で三角関数の合成がある思いますが、たいていの場合sinでの合成方法が書かれています。

でも、sinでの合成って美しくないですよね。これです↓

$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta+\alpha\right)$$

ただしαは

$$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

$$\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

これがsinの合成の式です。式が全く直観的ではありません。こんなものはまともに覚えてられないです。

そこでcosの合成です。ちょっと見にくいですが↓が導きかたです。

$$\begin{aligned}a\cos \theta +b\sin \theta =\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}\\ =\left| \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\right| \left| \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}\right| \cos \alpha \\ =\sqrt {a^{2}+b^{2}}\sqrt {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }\cos \left( \theta -\alpha \right) \\ =\sqrt {a^{2}+b^{2}}\cos \left( \theta -\alpha \right) \end{aligned}$$

ただしαはaをx軸、bをy軸にとったときの角です。もしくはベクトル(a,b)の単位円における角です。人によってはもっと分かりやすく言うと、複素数a+biの角です。

一応解説をしておきましょう。

まずは合成する式を内積の形に変形します。そして内積の公式↓を使います。

$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| \cos \theta$$

このθはaベクトルとbベクトルのなす角です。

ですからcosの合成の場合は(a,b)と(cosθ,sinθ)のそれぞれの角の差になります。(a,b)の角はαとおき、(cosθ,sinθ)の角は明らかにθですのでそのままにします。よってθ-αになります。もちろん差ですのでα-θでもかまいません。どちらにせよcosでくくってあるので同じ値になります。

あとはベクトルの絶対値を出せば終わりです。絶対値は2乗のルートですのでベクトルの自分同士での内積をルートします。そうすると結局√a²+b²になります。cosとsinのほうは1になるので消えます。

というわけで、単純な式変形でコサインでの合成の公式を導くことができました。これなら忘れたとしても自分で導けばいいので安心です。

このコサインの合成公式のいいところは直観的であることです。αを求める際に「cosはx軸でcosの係数はa。sinはy軸でsinの係数はb。この角度を求める。」という思考ができます。

また、この公式はサインに簡単に変換することができます。cosはx軸でsinはy軸ですので、x軸をy軸に重なるように90度(π/2)回転させればいいだけです。つまりπ/2を足します。

それでは最後に問題を一問やって終わりましょう。

問題:cosθ+√3sinθをrcos(θ+α)とrsin(θ+β)の形で表せ.ただし,r>0,-π<α<π,-π<β<πとする.

答え:2cos(θ-π/3),2sin(θ+π/6)

解説は余白がないので書きません

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