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問題はチャートにのっていたやつです。模範解答は式が多くて計算ミスをしやすそうだし、何より時間がかかるので別解を考えました。

問題概要:点A(1,3,0)を通りaベクトル(-1,1,-1)に平行な直線mと、点B(-1,3,2)を通りbベクトル(-1,2,0)に平行な直線nの最短距離を求めよ。

別解概要:まずaベクトルとbベクトルの外積を求めます。次に点Aを通り、求めた外積と垂直な平面の方程式を求めます。あとはその平面と点Bの距離を「点と平面の距離公式」で求めれば終わりです。

簡単ですね。実際にやってみましょう。

まずは外積を求めます。外積は「何でもいいから2つのベクトルと垂直なベクトルが欲しい」というときに役立ちます。

外積の求め方は画像↓の通りです。

ベクトルの成分をかき出して必要な操作をすると外積が出ます。赤いのは真ん中のを例にすると「1*0-(-1)*2」という操作をしています。こうすることで(2,1,-1)という外積を出せます。

この外積は2直線の最短距離を結ぶ直線と平行です。

そこで外積と垂直でかつmかnの直線を含む(点Aまたは点Bを通る)平面を考えます。これは公式を使えば一発です。今回は点A(1,3,0)を通る場合を考えます。すると、

2(x-1)+(y-3)-z=0

2x+y-z-5=0

あとはこの平面と点Bの距離を公式で求めればいいだけです。

点(x₁,y₁,z₁)と平面ax+by+cz+d=0の距離は次の式で与えられます。

$$\frac {\left| ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right| }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$

なので点B(-1,3,2)と平面2x+y-z-5=0の値を代入して、

√6と求められますwwwww(what was what we wanted)