数2で三角関数の合成がある思いますが、たいていの場合sinでの合成方法が書かれています。
でも、sinでの合成って美しくないですよね。これです↓
$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta+\alpha\right)$$
ただしαは
$$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
$$\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
これがsinの合成の式です。式が全く直観的ではありません。こんなものはまともに覚えてられないです。
そこでcosの合成です。ちょっと見にくいですが↓が導きかたです。
$$\begin{aligned}a\cos \theta +b\sin \theta =\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}\\ =\left| \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\right| \left| \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}\right| \cos \alpha \\ =\sqrt {a^{2}+b^{2}}\sqrt {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }\cos \left( \theta -\alpha \right) \\ =\sqrt {a^{2}+b^{2}}\cos \left( \theta -\alpha \right) \end{aligned}$$
ただしαはaをx軸、bをy軸にとったときの角です。もしくはベクトル(a,b)の単位円における角です。人によってはもっと分かりやすく言うと、複素数a+biの角です。
一応解説をしておきましょう。
まずは合成する式を内積の形に変形します。そして内積の公式↓を使います。
$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| \cos \theta$$
このθはaベクトルとbベクトルのなす角です。
ですからcosの合成の場合は(a,b)と(cosθ,sinθ)のそれぞれの角の差になります。(a,b)の角はαとおき、(cosθ,sinθ)の角は明らかにθですのでそのままにします。よってθ-αになります。もちろん差ですのでα-θでもかまいません。どちらにせよcosでくくってあるので同じ値になります。
あとはベクトルの絶対値を出せば終わりです。絶対値は2乗のルートですのでベクトルの自分同士での内積をルートします。そうすると結局√a²+b²になります。cosとsinのほうは1になるので消えます。
というわけで、単純な式変形でコサインでの合成の公式を導くことができました。これなら忘れたとしても自分で導けばいいので安心です。
このコサインの合成公式のいいところは直観的であることです。αを求める際に「cosはx軸でcosの係数はa。sinはy軸でsinの係数はb。この角度を求める。」という思考ができます。
また、この公式はサインに簡単に変換することができます。cosはx軸でsinはy軸ですので、x軸をy軸に重なるように90度(π/2)回転させればいいだけです。つまりπ/2を足します。
それでは最後に問題を一問やって終わりましょう。
問題：cosθ+√3sinθをrcos(θ+α)とrsin(θ+β)の形で表せ.ただし,r>0,-π<α<π,-π<β<πとする.
答え：2cos(θ-π/3),2sin(θ+π/6)
解説は余白がないので書きません
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